三门问题

最近一段日子“三门问题”在NGA上闹得很凶，原题是这样的：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

大家的分歧归纳起来就是“1/2党”和“1/3党”，我之前一直支持“1/2”，理由如下：

主持人的举动并没有改变参赛者选择的结果，这扇门里有就是有，没有就是没有，不会发生任何变化。于是选中的几率总是1/3，即使主持人告诉参赛者，他未选的某扇门里没有车，这个几率也不发生变化；同样，最后一扇门的几率也是永远1/3，于是开门后的几率就是1/2了。

我是如此的相信“1/2”，于是我认为一定是那些人想错了，我要用实证告诉他们问题出在哪里，于是我开始写代码，试图用大规模的样本来验证。

三门问题实证传送门>>>

但就在写程序时我发现了症结所在：主持人到底知不知道车在哪儿。如果他知道的话，那么换门之后赢得汽车的几率就会高达2/3；反之，则换与不换对结果没有影响。

我们假设三个门为A、B、C。参赛者选中A门，如果A门后面有汽车，那么不换就能赢得汽车，胜率1/3。如果A门后没有汽车，那么B和C一定一扇背后有汽车而另一扇没有，如果主持人“知道”汽车在哪儿，那么他只能打开没汽车的一扇门，于是剩下的那扇门里一定有汽车。而这种情况发生的几率是2/3，也就是说，如果参赛者选择改变初衷的话，会有2/3的几率赢得汽车。

回头还是把概率好好学学再。